scheda2_1.gif Il primo enunciato preciso, e la prima dimostrazione inequivocabile del nostro teorema si trovano nel primo libro degli Elementi di Euclide (circa 300 a. C):

Nei triangoli rettangoli, il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che contengono l’angolo retto.

Oggi in genere il “lato opposto all’angolo retto” si chiama ipotenusa, mentre i “lati che contengono l’angolo retto” prendono il nome di cateti. Inoltre, invece di “uguale” si preferisce dire equivalente, o che ha la stessa area. Così una formulazione moderna può essere:

Nei triangoli rettangoli, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

o anche, dato che l’area del quadrato è uguale al quadrato del lato,

Nei triangoli rettangoli, il quadrato dell’ipotenusa è equivalente ai quadrati dei cateti.

Se si indicano questi ultimi con a e b, e l’ipotenusa con c, il teorema prende la forma algebrica:

a2 + b2 = c2

scheda2_2.gif

scheda2_3.gif

Tra i teoremi classici, quello che porta il nome di Pitagora è forse quello che ha avuto più dimostrazioni differenti. Di tutte, la più semplice è probabilmente quella schematizzata dalle figure a lato .
Il triangolo rettangolo in questione è uno di quelli colorati in rosso. Il quadrato grande, che ha come lato la somma dei cateti, nella prima figura è composto di quattro triangoli e dei due quadrati costruiti sui cateti, mentre nella seconda è formato dagli stessi quattro triangoli disposti diversamente, e del quadrato dell’ipotenusa. Siccome l’area del quadrato grande e quella dei quattro triangoli è la stessa nei due casi, anche le aree delle figure che restano (cioè nella prima dei quadrati costruiti sui cateti, e nella seconda del quadrato sull’ipotenusa) sono uguali.
Come si vede, la dimostrazione è molto facile, e soprattutto evidente: il risultato si vede prima ancora di cominciare il ragionamento. Bisogna però stare molto attenti prima di accettare per buona una dimostrazione visiva. A volte la vista può ingannare: quello che sembra un quadrato può essere invece un rettangolo con i lati quasi uguali; due figure che sembrano uguali in realtà differiscono, anche se di poco. Molti paradossi geometrici sono costruiti in questo modo.
scheda2_4.gif Nel nostro caso, la dimostrazione è corretta, ma non ancora completa. Occorre infatti dimostrare che le parti bianche delle due figure sono effettivamente dei quadrati, e precisamente i quadrati sui cateti nella prima e quello sull’ipotenusa nella seconda. Nella prima figura questo è evidente per costruzione; nella seconda, il quadrilatero in esame ha tutti i lati uguali all’ipotenusa, e dunque resta solo da far vedere che i suoi angoli sono retti.
Consideriamo ad esempio quello con il vertice nel punto A, che insieme ai due angoli rossi con lo stesso vertice forma un angolo piatto. Ma anche la somma degli angoli di un triangolo è uguale a un angolo piatto, e quindi l’angolo bianco col vertice in A è uguale al terzo angolo del triangolo, che è retto. Allo stesso modo si dimostra che sono retti gli altri angoli (a rigore questo non servirebbe, perché un rombo con un angolo retto è un quadrato), e quindi la figura è un quadrato, che ha come lato l’ipotenusa.
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DANCING IN THE MOONLIGHT

We get it on most every night
when that moon is big and bright
it’s a supernatural delight
everybody’s dancing in the moonlight

we get
everybody here is out of sight
they don’t bark and they don’t bite
they keep things loose they keep it tight
everybody’s dancing in the moonlight

dancing in the moonlight
everybody’s feeling warm and bright
it’s such a fine and natural sight
everybody’s dancing in the moonlight

we like our fun and we never fight
you cant dance and stay uptight
it’s a supernatural delight
everybody was dancing in the moonlight

dancing in the moonlight
everybody’s feeling warm and bright
it’s such a fine and natural sight
everybody’s dancing in the moonlight

we get in on most every night
and when that moon is big and bright
it’s a supernatural delight
everybody’s dancing in the moonlight

dancing in the moonlight
everybody’s feeling warm and bright
it’s such a fine and natural sight
everybody’s dancing in the moonlight

DANCING IN THE MOONLIGHT

DIVISIONE PER ZERO

In matematica, una divisione per zero è una divisione della forma \frac{a}{0}. Il risultato non esiste (cioè l’espressione non ha significato) in aritmetica e in algebra.

È piuttosto diffusa l’errata opinione per cui il valore di \frac{a}{0} sarebbe \infty (infinito). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a una interpretazione della divisione in termini della teoria dei limiti dell’analisi matematica.

Esistono comunque particolari strutture matematiche all’interno delle quali la divisione per zero potrebbe essere definita in modo consistente (per esempio, la sfera di Riemann).

L’Incontro tra Ettore e Andromaca

L’incontro tra Ettore e Andromaaca lo troviamo scritto nel VI libro dell’Illiade, dal verso 392 al verso 502. In questi versi si narra l’incontro tra Ettore e Andromaca, durante la guerra contro gli Achei. Ettore, al nono anno dalla guerra, consapevole che il suo destino è vicino, decide di andare alle porte Scee, dove l’aspettano la moglie e il figlio. Qui Ettore saluta silenziosamente la famiglia, ma la moglie gli si fa vicino piangendo e gli dice che il suo coraggio lo ucciderà e lei e suo figlio resteranno soli. Poi gli dice che lui per lei è sposo, fratello, padre e madre perchè della sua famiglia nulla è rimasto, tutti uccisi da Achille. Gli chiede, quindi, di restare con lei nella torre e di non fare vedova lei nè orfano il figlioletto Astianatte. Allora Ettore le dice che lui pensa sia a lei ma anche a tutte le donne troiane e le dice che lui combatterà come gli anno insegnato dando gloria a Troia e al padre. Poi le spiega che quando Illio crollerà non soffrirà tanto per Troia, il padre, la madre e i fratelli ma per lei, perchè quando gli Achei la prenderanno la faranno loro schiava e sarà costretta a tessere per sempre. Poi Ettore tende le braccia verso il figlio, ma questolo rifiuta per paura della sua armatura. Allora il padre si sveste di quest’ultima e lo abbraccia; poi prega gli dei di far cresciere Astianatte come hanno cresciuto lui e che diventi più potente del padre. Poi si rivolge verso Andromaca e gli dice che nessuno può sfuggire al destino, uomo vile o valoroso che sia. Gli dice poi di tornare a casa con le ancelle e che gli uiomini penseranno alla guerra. In questo incontro fra i due sposi emerge l’amore l’uno per l’altro. Andromaca non vuole perdere il marito, che è l’unica cosa che gli rimane oltre al figlio, e, Ettore decide di difendere tuutta la sua patria pur di rinunciare alla sua famiglia.

Illusioni Ottiche

Un’illusione ottica è una qualsiasi illusione che inganna l’apparato visivo umano, facendogli percepire qualcosa che non è presente o facendogli percepire in modo scorretto qualcosa che nella realtà si presenta diversamente. Le illusioni ottiche possono manifestarsi naturalmente o essere dimostrate da specifici trucchi visuali che mostrano particolari assunzioni del sistema percettivo umano. Dalla base al meccanismo che ne è causa quindi, si hanno tre categorie di illusioni: – ottiche, quando sono causate da fenomeni puramente ottici e pertanto non dipendenti dalla fisiologia umana; – percettive, in quanto generate dalla fisiologia dell’occhio. Un esempio sono le immagini postume che si possono vedere chiudendo gli occhi dopo avere fissato un’immagine molto contrastata e luminosa; – cognitive, dovute all’interpretazione che il cervello dà delle immagini. Un caso tipico sono le figure impossibili e i paradossi prospettici.

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Il Ponte di Möbius

Nel 1858, il matematico e astronomo tedesco August Ferdinand Moebius scrisse un trattato sui poliedri, nel quale introdusse per la prima volta una figura geometrica rappresentata da una superficie allungata ritorta di centottanta gradi, con una sola faccia e un solo bordo. L’unità audiovisiva, attraverso animazioni grafiche e ricostruzioni realizzate in studio con la carta, illustra le proprietà matematiche di questa figura geometrica, denominata “nastro di Moebius”, mettendo in evidenza la sua attinenza con il concetto di infinito.
È particolarmente interessante vedere come il nastro di Moebius abbia esercitato ed eserciti tuttora un singolare fascino per molti artisti, tra i quali si ricorda il visionario illustratore olandese Mauritz Cornelius Escher (Leeuwarden 1898 – Hilversum 1972).

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In queste immagini ho realizzato un ponte con il nastro di Möbius. Ho fatto inanzitutto due nastri di Möbius, poi ne ho preso uno e l’ho inserito nell’altro nastro e, infine, ho colarato i due nastri.